6．(2019·全国卷Ⅱ文，17)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．
[解析] (1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，
所以BE⊥平面EB1C1．
(2)解：由(1)知∠BEB1＝90°．
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6．
如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3．
所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝
×3×6×3＝18．
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．
[解析] (1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，
所以BE⊥平面EB1C1．
(2)解：由(1)知∠BEB1＝90°．
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3．
所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝
×3×6×3＝18．
