典例2 如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.

典例2 如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCDPDQAQAABPD.

求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的◎体积的比值.
[思路分析] 对于棱锥QABCD,其底面为正方形ABCD,高即为QA,易求体积;对于三棱锥PDCQ,若以△DCQ为底面,则应证明PQ是其高,然后再计算,也可将三角形CDP作为底面,这时其◤高易证即为AD,从而可求体积.
[解析] 设ABa.由题意知AQ即为棱锥QABCD的高,
所以棱锥QABCD的体积V1=Sh×aa
a3.
解法1:由于棱锥PDCQ与棱锥QCDP是同一个棱锥,其体积相等,而其底面是←RtCDP,面积为S1=×a×2aa2.

DP中点N,连接QN,则QNAD
ADDCADDP,所以AD⊥平面CDP
QN⊥平面CDP.
因此QN就是三棱锥QCDP的高,且QNADa
于是棱锥PDCQ的体积V 2=VQCDP×a×a2=a3.
于是V1∶V2=1.

解法2:因为QA⊥平面ABCD
所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.
又四边形ABCD为正方形,DCAD
所以DC⊥平面PDAQ.于是得PQDC.
在直角梯→形①PDAQ中,可得DQPQPD
PQQD,所以PQ⊥平面DCQ.
PQ为三棱锥PDCQ的高,且PQa
而△DCQ的面积为·a·aa2,
所以三棱锥PDCQ的体积V2=·aa
a3,于是V1∶V2=1.
『规律总结』 1.锥体的体积公式VSh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥.

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