5.已知四「边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=a,M,N分别是AB,PC的中点,求证:平面MND⊥平面PCD.

5.已知◥四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCDPAADaMN分别是ABPC的中点,求证:平面MND⊥平面PCD.
[解析] 取PD的中点E,连接AENE,如图.
MN分别是ABPC的中点,∴ENCDABAM,且ENCDAB.
∴四边形AMNE是平行四边形.∴MNAE.
∵在等腰直角三角形PAD中,AE是斜边上的中线,
AEPD.
CDADCDPA,∴CD⊥平面PAD.∴CDAE.
CDPDD,∴AE⊥平面PCD.
MNAE,∴MN⊥平面PCD.
MN平面MND,∴平面MND⊥平面PCD.

6.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCDABADACCD,∠ABC=60°,PAABBCEPC的中点.
证明:(1)CDAE
(2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥PABCD中,
因为PA⊥底面ABCDCD平面ABCD,故APCD.
因为ACCDPAACA,所以CD⊥平面PAC.
AE平面PAC,所以CDAE.
(2)由PAABBC,∠ABC=60°,可得ACPA.
因为EPC的中点,所以AEPC.
由(1)知,AECD,且PCCDC
所以AE⊥平面PCD.
PD平面PCD,所以AEPD.
因为PA⊥底面ABCD,所以PAAB.
ABAD,且ADPAA,所以AB⊥平面PAD.
PD平面PAD,所以ABPD.
又因为ABAEA,所以PD⊥平面ABE.
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