9.如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4

9.如图,三棱锥PABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC,点DE在线段AC上,且ADDEEC=2,PDPC=4,点F在线段AB上,且EFBC.证明:AB⊥平面PFE.

[解析] 如图.由DEECPDPC知,E为等腰△PDCDC边的中点,故PEAC

又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABCAC
PE平面PACPEAC,所以PE⊥平面ABC
从而PEAB.
因∠ABCEFBC.故ABEF,从而AB与平面PEF内两条相交直线PEEF都垂直,
所以AB⊥平面PFE.

10.正三棱锥ABCD中,∠BAC=30°,ABa,平行于ADBC的截面EFGH分别交ABBDDCCA于点EFGH

(1)判定四边形EFGH的形状,并说明理由;
(2)设P是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC⊥平面EFGH?请给出说明.
[解析] (1)
ADHG
同理EFAD

HGEF,同理EHFG,∴四边形EFGH是平行四边形,
ABCD是正三棱锥,
A在底面上的々正投影O是△BCD的中心,∴DOBC
ADBC,∴HGEH,四边形EFGH是矩形.
(2)当APa时,平面PBC⊥平面EFGH
在△ACP中∠CAP=30°,ACa,∴APPC
ADBC,∴AD⊥平面BCP
HGAD,∴HG⊥平面BCP
HG平面EFGH,∴平面BCP⊥平面EFGH.

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